viernes, 14 de enero de 2011

Seguimos con Arquímedes

Cuentan que el rey Hieron II ordenó fabricar una corona de oro para celebrar sus triunfos pero, cuando estuvo hecha, surgió la duda de si realmente contenía este metal puro o si, por el contrario, los orfebres lo habían mezclado con plata para quedarse con parte del oro. La cuestión fue planteada a Arquimedes, quien hábilmente pensó en resolverla calculando la densidad de la corona y comparándola con la del oro puro. Sin embargo, había un pequeño problema, y es que la corona no se podía fundir para convertirla en un cuerpo regular y determinar así su densidad a partir de su masa y su volumen.
¿Cómo, entonces, lo resolvió Arquímedes? Pues con certeza no se sabe, pero perfectamente pudiera haber sido aplicando su famoso principio. Imaginemos que Arquímedes puso en un plato de una balanza la corona del rey Hierón y, en el otro, la misma masa de oro puro hasta que ambos platos estuviesen equilibrados, es decir, hasta que hubiese la misma masa en cada uno de ellos. Y seguidamente sumergió los platos de la balanza en el agua.
Puestos a imaginar, supongamos que el orfebre se hubiese quedado con parte del oro y lo hubiese sustituido por plata, la cual tiene una densidad más baja que la del oro. Y puestos a seguir imaginando, supón que eres Arquímedes y tienes que explicarle al rey Hierón que el orfebre le ha engañado ¿Cómo le convencerías? Como siempre, las respuestas a los comentarios.
Pero acabo de caer en la cuenta que no hay que ir a la Antigua Grecia para resolver un problema similar. En la última práctica comprobamos que Arquímedes tenía razón calculando los pesos reales, aparentes y el empuje de varios objetos. Si os pidiese que calculáseis las densidades de los dos cilindros que utilizamos, la cuestión es muy fácil; medimos su masa con una balanza y calculamos su volumen sumergiéndolos en una probeta con una cantidad conocida de agua, tal como hicimos. Así que nada, con dividir la masa entre el volumen, pues resuelto. Pero, ¿y si no tuviésemos la masa de los cilindros?
Imagina por un momento que olvidamos tomar este dato y lo único que conocemos son sus volúmenes y sus pesos reales y aparentes cuando están sumergidos. ¿Cómo podríamos calcular la densidad de los cilindros? Inténtalo y compara los resultados con los obtenidos aplicando la fórmula de la densidad. Los datos que necesitas son que la densidad del agua es de 1000 kilogramos por metro cúbico y que la aceleración de la gravedad g=9,8 m/s2.

3 comentarios:

Noelia dijo...

Pongámonos en la situación de Arquímedes y para ello hay que hacer uso de la imaginación. Para convencer a Hierón II de que el orfebre le había engañando habría que comprobar, en este caso prever, lo que ocurriría al sumergir los dos cuerpos con la misma masa en el agua. Si el orfebre no le hubiera engañado, el resultado de sumergir la corona y la misma masa de oro en el agua, sería el mismo. Es decir, el agua desplazada al sumergir los cuerpos no variaría. Pero en este caso, pretendemos convencer a Hierón de todo lo contrario. Por ello podríamos valernos de la experiencia de sumergir los cuerpos en agua para explicárselo. Si el orfebre lo hubiera engañado añadiendo plata a la corona (la plata tiene una densidad menor al oro), al sumergir la corona y la misma masa de oro, el resultado sería que la corona tendría un volumen mayor. Por lo tanto, se ha debido de añadir una sustancia con una densidad menor a la del cobre. Esto es debido a que la plata ocupa mayor volumen que el oro con la misma proporción de masa teniendo una densidad menor. Esto ha ocurrido con la corona y es la causa por la que la corona tiene más volumen en el fluido. Otra manera más fácil aún de demostrárselo, hubiera sido hallar el volumen de ambos cuerpos y calcular su densidad. Así demostraríamos que no tienen la misma densidad y que el oro ha sido mezclado con cierta cantidad de plata. Para que hubiesen tenido el mismo volumen, habríamos tenido que añadir más masa al oro puro pero, de esta manera, hubiera tenido más masa que la corona. Supongo, que la sorpresa del orfebre, que esperaba que no se pudiera comprobar que la corona no era de completamente de oro, fue cuando Arquímedes calculó su volumen y no coincidía. Todas estas ideas son convincentes para que Arquímedes, o nosotros mismos, pudiéramos convencer al rey Hierón.
Podemos calcular la densidad del objeto por múltiples métodos o fórmulas a partir de los datos de la tabla anterior. La más sencilla es calcular el cociente de la masa y el volumen. Para ello conocemos el volumen (calculado con la probeta) pero desconocemos la masa. Para calcularla podemos utilizar la fórmula que indica que el peso es igual al producto de la masa y la gravedad. Esta fórmula permite calcular su masa como el cociente del peso real y la gravedad. Una vez obtenida la masa podemos hallar la densidad a través de la fórmula más conocida.
Fórmulas:
P=m•g; m=p/g
D=m/v
Para comprobar este método podemos tomar como ejemplo el cilindro 1.
Masa:1,4N/9.8m/s2=0,142857…kg=0,143kg=143g
Volumen:20cm3
Densidad:143g/20cm3=7,15g/cm3
Ahora, ya tenemos un método eficaz para calcular la masa y a partir de esta, la densidad. Otra forma de calcular la densidad sería dividiendo el peso real del objeto (es hallado a través del producto de la masa y la gravedad) entre el empuje o el peso del agua desalojada que sufre el cuerpo al ser sumergido en el fluido. En este caso, ya tenemos directamente el dato de su peso real calculado por el dinamómetro. Podemos calcular el empuje con la diferencia del peso real y aparente del cuerpo o bien, calculando el peso del agua del fluido desalojado (se puede utilizar cualquiera de estos datos ya que el empuje es igual al peso del fluido desalojado). El producto de multiplicar la densidad del agua (1000kg/m3) y el volumen del cuerpo para calcular su masa y, a continuación, multiplicar el resultado por la gravedad (9,8m/s2), es igual al peso del fluido desalojado.
Fórmulas:
E=Pr-Pa o peso agua desalojada= d•v•g
D=Pr/e
Podemos volver a tomar como ejemplo el cilindro 1:
Volumen:0,00002m3
Peso agua desalojada:1000kg/m3•0,00002m3•9,8m/s2=0,196N
Densidad:1,4N/0,196=7,14g/cm3
Si calculamos la densidad con los datos de la última entrada, podemos comprobar que los datos que hemos hallado son muy precisos (casi idénticos) y coinciden bastante con los de la tabla. Estos resultados son bastantes aproximados en todos los objetos y es una forma útil de calcular la densidad (densidad=143,6g/20cm3=7,18 g/cm3).
Volvemos a comprobar con estas dos cuestiones que ni las matemáticas ni Arquímedes fallan.

Anónimo dijo...

Volver a estudiar las leyes de la hidrostática, recordar, y ver que todo resulta familiar, que hay cosas que no tienes porqué saber, pero que las sabes. Ciertamente resulta sorprendente recurrir a este blog dos años después, tras recordar estas dos entradas que hacen referencia al Principio de Arquímedes; y no solo estas, sino todas las entradas que te siguen haciendo reflexionar, de manera distinta a hace algunos años. Será que hay cosas que nunca cambian y nunca dejan de sorprender.

A. Quesada dijo...

Simplemente, gracias por ese comentario. Millones de gracias.