Seguimos con Arquímedes

Cuentan que el rey Hieron II ordenó fabricar una corona de oro para celebrar sus triunfos pero, cuando estuvo hecha, surgió la duda de si realmente contenía este metal puro o si, por el contrario, los orfebres lo habían mezclado con plata para quedarse con parte del oro. La cuestión fue planteada a Arquimedes, quien hábilmente pensó en resolverla calculando la densidad de la corona y comparándola con la del oro puro. Sin embargo, había un pequeño problema, y es que la corona no se podía fundir para convertirla en un cuerpo regular y determinar así su densidad a partir de su masa y su volumen.

¿Cómo, entonces, lo resolvió Arquímedes? Pues con certeza no se sabe, pero perfectamente pudiera haber sido aplicando su famoso principio. Imaginemos que Arquímedes puso en un plato de una balanza la corona del rey Hierón y, en el otro, la misma masa de oro puro hasta que ambos platos estuviesen equilibrados, es decir, hasta que hubiese la misma masa en cada uno de ellos. Y seguidamente sumergió los platos de la balanza en el agua.

Puestos a imaginar, supongamos que el orfebre se hubiese quedado con parte del oro y lo hubiese sustituido por plata, la cual tiene una densidad más baja que la del oro. Y puestos a seguir imaginando, supón que eres Arquímedes y tienes que explicarle al rey Hierón que el orfebre le ha engañado ¿Cómo le convencerías? Como siempre, las respuestas a los comentarios.

Pero acabo de caer en la cuenta que no hay que ir a la Antigua Grecia para resolver un problema similar. En la última práctica comprobamos que Arquímedes tenía razón calculando los pesos reales, aparentes y el empuje de varios objetos. Si os pidiese que calculáseis las densidades de los dos cilindros que utilizamos, la cuestión es muy fácil; medimos su masa con una balanza y calculamos su volumen sumergiéndolos en una probeta con una cantidad conocida de agua, tal como hicimos. Así que nada, con dividir la masa entre el volumen, pues resuelto. Pero, ¿y si no tuviésemos la masa de los cilindros?

Imagina por un momento que olvidamos tomar este dato y lo único que conocemos son sus volúmenes y sus pesos reales y aparentes cuando están sumergidos. ¿Cómo podríamos calcular la densidad de los cilindros? Inténtalo y compara los resultados con los obtenidos aplicando la fórmula de la densidad. Los datos que necesitas son que la densidad del agua es de 1000 kilogramos por metro cúbico y que la aceleración de la gravedad g=9,8 m/s2.

¡Eureka!

Todos hemos podido comprobar con sorpresa como cuando jugamos en la piscina o en la playa podemos levantar a un amigo haciendo muy poco esfuerzo. Igualmente podemos elevar con gran facilidad una piedra pesada desde el fondo. Pero esto únicamente mientras los objetos se mantienen dentro del agua. En el momento que salen fuera de ella parecen recobrar misteriosamente todo su peso. También podemos sorprendernos de cómo es posible que un barco, hecho de metal, y por tanto con un peso enorme, sea capaz de flotar en el agua cuando habitualmente el metal se hunde en ella.

Quizá podamos comprender mejor estos hechos si intentamos hundir en el agua un balón o un trozo de corcho. En este caso notamos como el agua ejerce una fuerza (un empuje) en sentido contrario al que nosotros ejercemos que se opone a que el objeto se hunda. Pues bien, de la misma manera podemos pensar que la pérdida de peso que experimentamos cuando nos bañamos se puede deber a que el agua ejerce una fuerza en sentido contrario a la de nuestro peso. Ahora bien ¿cuánto vale esa fuerza?¿Cuánto pesaría un objeto sumergido en agua?

La respuesta a estas preguntas la dio Arquímedes, el gran sabio griego. Cuentan que la solución la encontró mientras se encontraba en la bañera y su alegría fue tal que inconscientemente salió corriendo desnudo por las calles gritando ¡Eureka! (que en griego antiguo significa "lo encontré"). Pues bien, Arquímedes comprobó que todo cuerpo sumergido en un fluido (agua, por ejemplo) experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado por el objeto cuando se sumerge en él. En otras palabras, si queremos saber cuanto pesará un objeto al sumergirlo en líquido, es decir, lo que se conoce como peso aparente, a su peso real habrá que restarle lo que pesaría la cantidad (el volumen) de agua desalojada.

Y esto es lo que nos hemos planteado en el laboratorio: comprobar que Arquímedes tenía razón. Para ello hemos procedido a pesar diversos objetos con un dinamómetro tanto en el aire como sumergidos en agua. La diferencia de ambas pesadas nos permite conoce el valor del empuje. La tabla siguiente muestra los resultados obtenidos por los distintos grupos.

¿Tenía Arquímedes razón? A partir de la densidad del agua (d=1 g/cm3) averigua el peso del volumen de agua desalojado (equivalente al volumen del objeto sumergido) y comprueba si, con los márgenes de error propios de cada experiencia, coincide con el valor del empuje, calculado a partir de la diferencia entre el peso fuera y dentro del agua. No olvidéis trabajar en unidades del Sistema Internacional. Y una pregunta más; la experiencia la hemos hecho con agua del grifo ¿serían los resultados los mismos si hubiésemos puesto agua del mar? Espero vuestras respuestas razonadas como comentarios a esta entrada.